Doshi's blog

Structures Algébriques

14/12/2018 — maths — ~7mn de lecture

J’ai jamais fait d’algèbre en cours (à part un peu d’algèbre linéaire en 1ère année de DUT, mais j’avais rien compris à l’époque donc j’ai quasi rien retenu), mais c’est un sujet que j’adore. Ce que j’adore dedans, c’est cette pléthore de définitions très proche, avec justes quelques éléments qui changent / s’ajoutent. (oui j’ai des délires un peu chelous ?)

Bon du coup disclaimer : j’ai pas vraiment de connaissance bien formelle d’algèbre, tout ce que je connais, je le connais de mes pérégrinations sur l’Internet (encore une fois, ce que j’ai vu en cours j’ai tout oublié jusqu’à en entendre parler de nouveau au cours de mes pérégrinations). Du coup c’est pas impossible que je sorte de l’algèbre et que je parte en vrille, j’en sais rien, je saurais même pas définir clairement l’algèbre autre que par ces structures.

Deuxième disclaimer : je ne suis pas du tout satisfait de ce billet, je trouve qu’il n’apporte strictement rien et qu’il n’a aucun intêrét. Mais je le poste quand même parce que sinon je posterais jamais rien.

Allez on est parti :

Pré requis : Une loi de composition interne c’est une application (≃ une fonction) qui prend 2 éléments d’un ensemble E, et qui donne un autre élément de E. On dit que c’est une application par laquelle E est stable
Exemple : Si on prend ℕ (les entiers naturels 0,1,2,3,4,…), bah l’application + c’est une loi de composition interne, parce que le résultat de l’addition de 2 entiers naturels sera toujours un entier naturel. Pareil pour la multiplication. Par contre, la soustraction c’est pas une loi de composition interne, parce que par ex 2-3 n’est plus un entier naturel (et en fait a-b n’est pas un entier naturel si a < b). Si on prend ℝ (les nombres réels, ie les nombres de tous les jours), +, ×, ÷, - sont toutes des lois internes. Et si on veut partir un peu plus loi, la composition ∘ pour un ensemble de fonction de X vers X, c’est une loi interne aussi (parce que si f : X → X et g aussi, bah g(f(x)) (ou g∘f), ça reste une fonction de X vers X

BREF, LES STRUCTURES

Magma

Un magma c’est un ensemble, muni d’une loi de composition interne. Voilà c’est tout. C’pas bien compliqué d’être un magma, c’est pas super restrictif.

Demi-groupe (mais je préfère “Semi-groupe”)

Un magma associatif. Donc vu que c’est un magma, c’est un ensemble avec une loi de composition interne, sauf que pour être un semi-groupe (ou demi-groupe), il faut que cette loi soit associative, c’est à dire “osef de l’ordre des parenthèses”. Si notre loi c’est ⋅, il faut que \((a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)\). Par exemple, l’addition ou la multiplication respecte ça (ex : \((2×3)×4 = 2×(3×4) = 24\)). Par contre la soustraction c’est pas vrai par contre (ex : \((2-3)-6 = -7\) mais \(2-(3-6) = 5\) :/)

Monoïde

Ouuuuh le gros mot tout vilain ! Un monoïde c’est juste un semi-groupe unifère. C’est à dire que c’est un semi-groupe, donc un magma associatif, mais que sa loi interne admet un élément neutre \(e.\) C’est l’élément (il est forcément unique) pour lequel \(e⋅x = x⋅e = x\). C’est l’élément qui change rien quoi. Par exemple, pour +, c’est 0, pour ×, c’est 1, et pour ∘ c’est la fonction identité \((f(x)=x).\)

Groupe

C’est un monoïde avec un symétrique. Monoïde donc magma, loi interne (⋅) associative, élément neutre \(e\), sauf que cette fois ci, chaque élément admet un symétrique par rapport à la loi ⋅. C’est à dire que pour chaque x, il existe y tel que : \(x⋅y = y⋅x = e\). Pour l’addition +, c’est juste \(-x\) (car \(x+(-x) = -x+x = 0\)) et pour la multiplication, c’est \(\frac{1}{x}\) (car \(\frac{1}{x}×x = x×\frac{1}{x} = 1\)). Si en plus, la loi est commutative (c’est à dire que \(x⋅y = y⋅x\), c’est à dire “osef de l’ordre des termes), on dit que c’est un groupe abélien (ou un groupe commutatif, tout simplement)

Après ça, on rentre dans les structures avec 2 lois internes, et j’avoue que je m’y suis jamais trop penché dessus, donc ce que je vais raconter sera un peu bancal, mais je vais essayer quand même. Et les trucs avec 2 lois de structures internes, on appelle ça des annélides (oui, comme les vers de terre). En général, on appelle la première loi l’“addition” et la deuxième “multiplication”, et la multiplication doit être distributive bilatéralement sur l’addition (c-à-d, distributive à gauche \(a⊗(b⊕c) = a⊗b ⊕ a⊗c\) mais aussi à droite \((b⊕c)⊗a = b⊗a ⊕ c⊗a\))

Anneau non-associatif (vous voyez pourquoi “annélides” ?)

Un annélide (A,⊕,⊗) est un anneau non-associatif si (A,⊕) est un groupe abélien. Donc l’addition doit être associative et commutative, mais la multiplication, on s’en fout un peu, faut juste qu’elle soit distributive.

Pseudo-anneau

Comme un anneau non-associatif, sauf que cette fois-ci, la multiplication est associative, yeay ! Du coup ça veut dire qu’en plus du fait que (A,⊕) soit un groupe abélien, bah (A,⊗) est aussi un semi-groupe.

Demi-anneau (ou semi-anneau, même combat que le semi-groupe)

Un annélide (A,⊕,⊗) est un semi-anneau s’il a deux structures de monoïdes ((A,⊕) et (A,⊗) sont associatifs, et qu’ils admettent un élément neutre) et que l’élément neutre de l’addition est absorbant pour la multiplication. “Mais ça veut dire quoi absorbant ?”. Vous voyez, l’élément neutre de l’addition, c’est 0 ? Et que 0 multiplié par n’importe quoi, ça fait 0 ? Bah c’est ça absorbant :D. Du coup, (ℕ,+,×) c’est un semi-anneau par ex.

Anneau

Le tout beau, l’anneau ! C’est comme un demi-anneau (donc (A,⊕) et (A,⊗) forment des monoïdes) mais (A,⊕) est aussi un groupe abélien. Et le fait que le neutre de l’addition soit absorbant pour la multiplication disparait parce que c’est automatique avec cette définition apparemment.

Anneau commutatif

C’est un anneau, mais commutatif. Wouw. (Pour de vrai, hein, c’est juste un anneau mais ⊗ est commutative, et c’est tout (⊕ était déjà commutative, vu que (A,⊕) est un groupe abélien)

Corps

Le king des annélides, le voilà ! C’est un anneau où l’élément neutre n’est pas celui de la multiplication (avant on pouvait), et tout élément non nul a un inverse multiplicatif. Donc (A,⊕) reste un groupe abélien, mais en plus maintenant (A,⊗) est un groupe.

Remarques : Les mathématiciens ils sont pas toujours d’accord, et ils appellent pas forcément les mêmes choses de la même manière. Par exemple, ce que moi j’ai présenté comme un demi-anneau, pour certains c’est un anneau tout court, et du coup ce que j’ai défini comme anneau, pour eux c’est un anneau unitaire. Et pour le corps, avec l’influence anglaise, on considère souvent qu’il est commutatif (donc que (A,⊕) mais aussi (A,⊗) sont des groupes abéliens), sauf que c’est implicite. En français, à l’origine il l’est pas forcément.

Après on pourrait continuer un peu, parce qu’on peut rajouter des lois externes, et donc les ensembles avec une loi interne et une loi externe c’est des moduloïdes ; et les structres avec deux lois internes et une loi externe, c’est des algèbres, mais franchement je m’aventurerais en terrain un peu miné donc pas maintenant.

Sinon j’ai une anecdote à la con, lié à un cours que j’ai, un groupe de lecture du livre “Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres” (oui j’aime me faire du mal). Comme je l’ai partagé en début d’article, j’aime bien l’algèbre mais j’en ai jamais fait en cours. Bah là récemment, on a défini les fonctions arithmétiques (c’est des fonctions de ℕ* vers ℂ, donc qui prenne en entrée un entier positif non nul et qui ressortent un nombre complexe). Dedans on a dit défini un produit sur ces fonctions ¹, puis on a prouvé qu’il était commutatif (par changement de variable), associatif (calculatoire, y’a des doubles sommes, mais ça se fait) et qu’il y avait un élément neutre ². Mmmmh, un ensemble avec une loi interne associative, commutative avec un élément neutre… Mais oui, exactement, c’est un monoïde commutatif. Sauf qu’on est allé plus loin, on a rajouté l’addition du coup c’est un anneau commutatif.

Puis si vous voulez en savoir plus, y’a toujours l’article wikipédia pour ça. C’est là que je suis allé pioché mes infos pour les annélides.